數(shù)學(xué)的邏輯有時(shí)會(huì)導(dǎo)致看來(lái)十分怪異的結(jié)論。一般的規(guī)則是，如果邏輯推理沒(méi)有漏洞，那么結(jié)論就必定站得住腳，即使它與你的直覺(jué)矛盾。 1998年9月，加利福尼亞州帕洛阿爾托的Stephen M. Omohundro寄給我一道難題，它恰好就屬于這一類。這難題已經(jīng)流傳了至少十年，但是Omohundro對(duì)它作了改動(dòng)，使它的邏輯問(wèn)題變得分外復(fù)雜了。
先來(lái)看看此難題原先的形狀。10名海盜搶得了窖藏的100塊金子，并打算瓜分這些戰(zhàn)利品。這是一些講民主的海盜（當(dāng)然是他們自己特有的民主），他們的習(xí)慣是按下面的方式進(jìn)行分配：最厲害的一名海盜提出分配方案，然后所有的海盜（包括提出方案者本人）就此方案進(jìn)行表決。如果50%或更多的海盜贊同此方案，此方案就獲得通過(guò)并據(jù)此分配戰(zhàn)利品。否則提出方案的海盜將被扔到海里，然后下提名最厲害的海盜又重復(fù)上述過(guò)程。
所有的海盜都樂(lè)于看到他們的一位同伙被扔進(jìn)海里，不過(guò)，如果讓他們選擇的話，他們還是寧可得一筆現(xiàn)金。他們當(dāng)然也不愿意自己被扔到海里。所有的海盜都是有理性的，而且知道其他的海盜也是有理性的。此外，沒(méi)有兩名海盜是同等厲害的——這些海盜按照完全由上到下的等級(jí)排好了座次，并且每個(gè)人都清楚自己和其他所有人的等級(jí)。
這些金塊不能再分，也不允許幾名海盜共有金塊，因?yàn)槿魏魏１I都不相信他的同伙會(huì)遵守關(guān)于共享金塊的安排。這是一伙每人都只為自己打算的海盜。
最兇的一名海盜應(yīng)當(dāng)提出什么樣的分配方案才能使他獲得最多的金子呢？
為方便起見(jiàn)，我們按照這些海盜的怯懦程度來(lái)給他們編號(hào)。最怯懦的海盜為1號(hào)海盜，次怯懦的海盜為2號(hào)海盜，如此類推。這樣最厲害的海盜就應(yīng)當(dāng)?shù)玫阶畲蟮木幪?hào)，而方案的提出就將倒過(guò)來(lái)從上至下地進(jìn)行。分析所有這類策略游戲的奧妙就在于應(yīng)當(dāng)從結(jié)尾出發(fā)倒推回去。游戲結(jié)束時(shí)，你容易知道何種決策有利而何種決策不利。確定了這一點(diǎn)后，你就可以把它用到倒數(shù)第2次決策上，如此類推。如果從游戲的開(kāi)頭出發(fā)進(jìn)行分析，那是走不了多遠(yuǎn)的。其原因在于，所有的戰(zhàn)略決策都是要確定：“如果我這樣做，那么下一個(gè)人會(huì)怎樣做？”
因此在你以下海盜所做的決定對(duì)你來(lái)說(shuō)是重要的，而在你之前的海盜所做的決定并不重要，因?yàn)槟惴凑龑?duì)這些決定也無(wú)能為力了。
記住了這一點(diǎn)，就可以知道我們的出發(fā)點(diǎn)應(yīng)當(dāng)是游戲進(jìn)行到只剩兩名海盜——即1號(hào)和2號(hào)——的時(shí)候。這時(shí)最厲害的海盜是2號(hào)，而他的最佳分配方案是一目了然的：100塊金子全歸他一人所有，1號(hào)海盜什么也得不到。由于他自己肯定為這個(gè)方案投贊成票，這樣就占了總數(shù)的50%，因此方案獲得通過(guò)。
現(xiàn)在加上3號(hào)海盜。1號(hào)海盜知道，如果3號(hào)的方案被否決，那么最后將只剩2個(gè)海盜，而1號(hào)將肯定一無(wú)所獲——此外，3號(hào)也明白1號(hào)了解這一形勢(shì)。因此，只要3號(hào)的分配方案給1號(hào)一點(diǎn)甜頭使他不至于空手而歸，那么不論3號(hào)提出什么樣的分配方案，1號(hào)都將投贊成票。因此3號(hào)需要分出盡可能少的一點(diǎn)金子來(lái)賄賂1號(hào)海盜，這樣就有了下面的分配方案： 3號(hào)海盜分得99塊金子，2號(hào)海盜一無(wú)所獲，1號(hào)海盜得1塊金子。
4號(hào)海盜的策略也差不多。他需要有50%的支持票，因此同3號(hào)一樣也需再找一人做同黨。他可以給同黨的最低賄賂是1塊金子，而他可以用這塊金子來(lái)收買2號(hào)海盜。因?yàn)槿绻?號(hào)被否決而3號(hào)得以通過(guò)，則2號(hào)將一文不名。因此，4號(hào)的分配方案應(yīng)是：99塊金子歸自己，3號(hào)一塊也得不到，2號(hào)得1塊金子，1號(hào)也是一塊也得不到。
5號(hào)海盜的策略稍有不同。他需要收買另兩名海盜，因此至少得用2塊金子來(lái)賄賂，才能使自己的方案得到采納。他的分配方案應(yīng)該是：98塊金子歸自己，1塊金子給3號(hào)，1塊金子給1號(hào)。
這一分析過(guò)程可以照著上述思路繼續(xù)進(jìn)行下去。每個(gè)分配方案都是唯一確定的，它可以使提出該方案的海盜獲得盡可能多的金子，同時(shí)又保證該方案肯定能通過(guò)。照這一模式進(jìn)行下去，10號(hào)海盜提出的方案將是96塊金子歸他所有，其他編號(hào)為偶數(shù)的海盜各得1塊金子，而編號(hào)為奇數(shù)的海盜則什么也得不到。這就解決了10名海盜的分配難題。
Omohundro的貢獻(xiàn)是他把這一問(wèn)題擴(kuò)大到有500名海盜的情形，即500名海盜瓜分100塊金子。顯然，類似的規(guī)律依然成立——至少是在一定范圍內(nèi)成立。事實(shí)上，前面所述的規(guī)律直到第200號(hào)海盜都成立。 200號(hào)海盜的方案將是：從1到199號(hào)的所有奇數(shù)號(hào)的海盜都將一無(wú)所獲，而從2到198號(hào)的所有偶數(shù)號(hào)海盜將各得1塊金子，剩下的1塊金子歸200號(hào)海盜自己所有。
乍看起來(lái)，這一論證方法到200號(hào)之后將不再適用了，因?yàn)?01號(hào)拿不出更多的金子來(lái)收買其他海盜。但是即使分不到金子，201號(hào)至少還希望自己不會(huì)被扔進(jìn)海里，因此他可以這樣分配：給1到199號(hào)的所有奇數(shù)號(hào)海盜每人1塊金子，自己一塊也不要。
202號(hào)海盜同樣別無(wú)選擇，只能一塊金子都不要了——他必須把這100塊金子全部用來(lái)收買100名海盜，而且這100名海盜還必須是那些按照201號(hào)方案將一無(wú)所獲的人。由于這樣的海盜有101名，因此202號(hào)的方案將不再是唯一的——賄賂方案有101種。
203號(hào)海盜必須獲得102張贊成票，但他顯然沒(méi)有足夠的金子去收買101名同伙。因此，無(wú)論提出什么樣的分配方案，他都注定會(huì)被扔到海里去喂魚。不過(guò)，盡管203號(hào)命中注定死路一條，但并不是說(shuō)他在游戲進(jìn)程中不起任何作用。相反，204號(hào)現(xiàn)在知道，203號(hào)為了能保住性命，就必須避免由他自己來(lái)提出分配方案這么一種局面，所以無(wú)論204號(hào)海盜提出什么樣的方案，203號(hào)都一定會(huì)投贊成票。這樣204號(hào)海盜總算僥幸揀到
一條命：他可以得到他自己的1票、203號(hào)的1票、以及另外100名收買的海盜的贊成票，剛好達(dá)到保命所需的50%。獲得金子的海盜，必屬于根據(jù)202號(hào)方案肯定將一無(wú)所獲的那101名海盜之列。
205號(hào)海盜的命運(yùn)又如何呢？他可沒(méi)有這樣走運(yùn)了。他不能指望203號(hào)和204號(hào)支持他的方案，因?yàn)槿绻麄兺镀狈磳?duì)205號(hào)方案，就可以幸災(zāi)樂(lè)禍地看到205號(hào)被扔到海里去喂魚，而他們自己的性命卻仍然能夠保全。這樣，無(wú)論205號(hào)海盜提出什么方案都必死無(wú)疑。206號(hào)海盜也是如此——他肯定可以得到205號(hào)的支持，但這不足以救他一命。
類似地，207號(hào)海盜需要104張贊成票——除了他收買的100張贊成票以及他自己的1張贊成票之外，他還需3張贊成票才能免于一死。他可以獲得205號(hào)和206號(hào)的支持，但還差一張票卻是無(wú)論如何也弄不到了，因此207號(hào)海盜的命運(yùn)也是下海喂魚。
208號(hào)又時(shí)來(lái)運(yùn)轉(zhuǎn)了。他需要104張贊成票，而205、206、207號(hào)都會(huì)支持他，加上他自己一票及收買的100票，他得以過(guò)關(guān)保命。獲得他賄賂的必屬于那些根據(jù)204號(hào)方案肯定將一無(wú)所獲的人（候選人包括2到200號(hào)中所有偶數(shù)號(hào)的海盜、以及201、203、204號(hào)）�，F(xiàn)在可以看出一條新的、此后將一直有效的規(guī)律：那些方案能過(guò)關(guān)的海盜（他們的分配方案全都是把金子用來(lái)收買100名同伙而自己一點(diǎn)都得不到）相隔的距離越來(lái)越遠(yuǎn)，而在他們之間的海盜則無(wú)論提什么樣的方案都會(huì)被扔進(jìn)海里——因此為了保命，他們必會(huì)投票支持比他們厲害的海盜提出的任何分配方案。得以避免葬身魚腹的海盜包括201、202、204、208、216、232、264、328、456號(hào)，即其號(hào)碼等于200加2的某一方冪的海盜。
現(xiàn)在我們來(lái)看看哪些海盜是獲得賄賂的幸運(yùn)兒。分配賄賂的方法是不唯一的，其中一種方法是讓201號(hào)海盜把賄賂分給1到199號(hào)的所有奇數(shù)編號(hào)的海盜，讓202號(hào)分給2到200號(hào)的所有偶數(shù)編號(hào)的海盜，然后是讓204號(hào)賄賂奇數(shù)編號(hào)的海盜，208號(hào)賄賂偶數(shù)編號(hào)的海盜，如此類推，也就是輪流賄賂奇數(shù)編號(hào)和偶數(shù)編號(hào)的海盜。
結(jié)論是：當(dāng)500名海盜運(yùn)用最優(yōu)策略來(lái)瓜分金子時(shí)，頭44名海盜必死無(wú)疑，而456號(hào)海盜則給從1到199號(hào)中所有奇數(shù)編號(hào)的海盜每人分1塊金子，問(wèn)題就解決了。由于這些海盜所實(shí)行的那種民主制度，他們的事情就搞成了最厲害的一批海盜多半都是下海喂魚，不過(guò)有時(shí)他們也會(huì)覺(jué)得自己很幸運(yùn)——雖然分不到搶來(lái)的金子，但總可以免于一死。只有最怯懦的200名海盜有可能分得一份臟物，而他們之中又只有一半的人能真正
得到一塊金子，的確是怯懦者繼承財(cái)富。
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